TP 1 CORRIGÉ

Ex 2)

Sqrt[12345678987654321]

Ex 3)

N[π,101]

Ex 4)

a=(2143/22)^(1/4)
N[a-π]

Donc a = π à (10^(-9)) près par défaut

b=2Sqrt[10]-1193611/375000
N[b-π]

Donc b=π à (8.10^(-11)) près par excès

c=355/113(1-3/3533/10000)
N[c-π]

Donc c = π à (10^(-15)) près par excès

Sort[{π,a,b,c},Less]

Donc a < π < c < b

Ex 5)

a=Exp[Pi Sqrt[163]];N[a,50]
b=Round[a]
N[a-b,1]

donc a est l'entier N=262537412640768744 à (7.10^(-13)) près(a <N)

Ex 6)

FullSimplify[Sqrt[3+2Sqrt[2]]]

donc (Sqrt[3+2 (Sqrt[2])])-(Sqrt[3-2 (Sqrt[2])])=1+Sqrt[2]+1-Sqrt[2]=2

Ex 7)

a=Sqrt[3]+Sqrt[14+2Sqrt[3]];b=Sqrt[7+Sqrt[46]]+Sqrt[10-Sqrt[46]+2Sqrt[21-3Sqrt[46]]];
b1=FullSimplify[b]
Simplify[a-b1]

donc a et b sont égaux : l'écriture d'un nombre avec des radicaux n'est pas unique ! ; 
pourtant  N[a-b]  est  non nul ! :

N[a-b]

{RootReduce[a],RootReduce[a]}

Ceci montre que a et b sont tous les deux racines de 109-24x-34 (x^2)+(x^4)==0 ; cherchons les autres racines :

Solve[109-24x-34 (x^2)+(x^4)==0,x]

Ex 8)

Mod[Floor[2^1000/10^99] ,10]

Le 100 ième chifffre (à partir de la droite) de (2^1000) est 2.

Ex 9)

Mod[Floor[π*10^100],10]

La 100 - ème décimale de π est donc un 9. Ce n'est pas un zéro comme le laisserait penser Ex 3, car dans ce cas il y a eu arrondi (79 est devenu 80).

Ex 10)

n=2^257-1
PrimeQ[n]
Divisors[n]

Montrer qu' un nombre n'est pas premier est bien plus facile que d'en exhiber un diviseur !

Ex 11)

Exit[];u=(1/a+1/b)/(1/a-1/b);A=(u+1/u)/(u-1/u);A==Expand[Simplify[A]]

Au lieu de tout taper, donnez des noms à des expressions identiques!

FullSimplify[Sin[x]Sin[Pi/3+x]Sin[Pi/3-x]]

Ex 12)

Expand[(x+y+z+t)^4]

((((∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])))^4)=(∑_i)((Subscript[x, i])^4)+4(∑_(i≠j))((Subscript[x, i])^3)(Subscript[x, j])+6(∑_(i<j))((Subscript[x, i])^2)((Subscript[x, j])^2)+12(∑_(j<k
i≠j et ≠k))((Subscript[x, i])^2)(Subscript[x, j])(Subscript[x, k])+24(∑_(i<j))(Subscript[x, i])(Subscript[x, j])(Subscript[x, k])(Subscript[x, l])

Ex 13)

P=Expand[(x+y+z)^4];Collect[P,x]
Coefficient[P,x^2]

Ex 14)

S=a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)  
S2=S/.{a->y+z,b->x+z,c->x+y}
Expand[S2/(x y z)/2]

Ex 15)

a=x(x+y)(x+2y)(x+3y)+y^4;Factor[a]

Ex 16)

Factor[x^2-2y^2,Extension->Sqrt[2]]

A=Factor[x^3+y^3] 
Factor[A,Extension->{Sqrt[3],I}]

En fait (x^3)+(y^3)=(x+y)(x+jy)(x+(j^2)y) avec j=(e^(2iΠ/3))

A=Factor[x^3+y^3+z^3] 
Factor[A,Extension->{Sqrt[3],I}]

On peut prouver que (x^3)+(y^3)+(z^3)est irréductible

A=Factor[x^3+y^3+z^3/.{x->x-y,y->y-z,z->z-x}]

La transformation {x->x-y,y->y-z,z->z-x} rend (x^3)+(y^3)+(z^3)réductible.

A=Factor[x^2+y^2+z^2] 
Factor[A,Extension->{Sqrt[2],I}]

On peut prouver que (x^2)+(y^2)+(z^2)est irréductible

A=Factor[x^2+y^2+z^2+2(x y+y z+z x)]

A=Factor[x^2+y^2+z^2-2(x y+y z+z x)] 
Factor[A,Extension->{Sqrt[2],I}]

On peut prouver que (x^2)+(y^2)+(z^2)-2(x y+y z+z x)est irréductible

A=Factor[(x^2)+(y^2)+(z^2)-2(x y+y z+z x)/.{x->x^2,y->y^2,z->z^2}]

A=Factor[x^4+y^4] 
Factor[A,Extension->{Sqrt[2]}]
Factor[A,Extension->{Sqrt[2],I}]

Ex 17)

P=TrigExpand[Cos[7 t]]/.( Sin[t]-> (1-Cos[t]^2)^(1/2) ) // Expand

P+1/.Cos[t]->x/2//Factor

2cos (π/7) est donc solution de  (x^3)=(x^2)+2x-1

Solve[1-2 x-(x^2)+(x^3)==0,x]

L' une de ces trois solutions est 2 cos (π/7) ! Mais on peut démontrer qu' il est impossible de l'écrire avec des radicaux RÉELS.

P=TrigExpand[Cos[9t]]/.( Sin[t]-> (1-Cos[t]^2)^(1/2) ) // Expand

P+1/.Cos[t]->x/2//Factor

2cos (π/9) est donc solution de  (x^3)=3x + 1 ; on peut aussi démontrer qu' il est impossible de l'écrire avec des radicaux RÉELS.
Ce résultat est historiquement important car il prouve l'impossiblité de la trisection de l'angle de 30° à l'aide de la rêgle et du compas.